Geboren in Bad Staffelstein, hatte Weber 1941 im Zweiten Weltkrieg auf dem Weg zu einem Fronteinsatz bei einem Unfall beide Hände verloren. Der bedeutende Chirurg Prof. Ferdinand Sauerbruch operierte ihn mehrmals und gab ihm neue Bewegungsmöglichkeiten mit eigens entwickelten Handprothesen zurück. Sauerbruch war es auch, der sein künstlerisches Talent entdeckte und förderte.
Hubert Weber studierte an verschiedenen Akademien der Bildenden Künste und startete schließlich eine erfolgreiche Karriere als Künstler und Bildhauer. Dabei gestaltete er Kirchen, Schulen, Kliniken und öffentliche Gebäude, schuf Brunnen, Skulpturen und Betonglasfenster. Im Landkreis Kronach hat er in den 1960ern ein großes Wandgemälde für die Berufsschule gestaltet und sowohl die Schulen in Gehülz-Breitenloh als auch in Windheim mit Wandgemälden versehen.
Auch das Sgraffito der „Sparer-Familie“ an der ehemaligen Sparkassen-Hauptstelle am Kronacher Bahnhof aus den 1950ern stammt von ihm. Weiter schuf er in den 1960er Jahren die Betonglasfenster der Kirchen „St. Heinrich“ Steinbach/Wald und „St. Marien“ Hirschfeld sowie das Landkreis-Wappen am Landratsamt. Am Kronacher Marienplatz – am Treppenaufgang vom Stadtpark hoch zur Stadtpfarrkirche – fertigte er 1990 die Bronzefigur von Johann Kaspar Zeuß.